0   引　言

微纳米颗粒在膜上的流体力学阻力与布朗扩散组成了界面水动力学的基本模型系统^[1-3]。微纳米颗粒布朗运动的扩散系数、阻力系数与膜的黏度、黏弹性等流变性质密切相关，因此微纳米颗粒可作为生物膜流变性的测量探针^[4-6]。相比于剪切流变仪，单个粒子跟踪测量方法具有频率分布广^[7-8]、灵敏度高等优势。此外，将微纳米颗粒作为生物膜药物运输的载体已成为一种新兴医疗手段，广泛应用于癌症等疾病治疗^[9-11]。

评估药物输运效率需清楚认识颗粒沿膜界面的扩散运动机理及流体力学规律。最早关于颗粒在膜界面上的水动力学理论由Saffman^[12]提出。Saffman讨论了嵌入在膜内且与膜厚度相同的圆柱体阻力系数模型，作为膜内单个磷脂/蛋白质分子运动的水动力学模型。在水动力学和Staffman理论中，膜被视为无限大平面铺展的黏性液体，介于其他两种液体界面之间。Navier–Stokes方程对膜内流场的刻画有别于普通流体：首先，膜由一层或两层磷脂分子构成^[13]，厚度为2～5 $ \mathrm{n}\mathrm{m} $，理论假设膜内垂直方向上的剪切速率与其他物理量的梯度为0^[12-15]，因此膜内流场问题是一个二维流体力学问题；其次，膜虽可被压缩，但其压应力波的波速远大于颗粒布朗运动的速度，因此可近似视为不可压缩流体。这些限制条件皆增加了求解颗粒阻力系数的难度。Saffman理论使用了2个条件（磷脂分子半径极小；膜黏度远大于液体黏度），忽略了两侧液体对圆柱体上下表面施加的剪切力，得到了阻力系数关于颗粒无量纲尺寸$\varepsilon = {r({\mu }_{1} + {\mu }_{2})}/{{\eta }_{{\rm{m}}}}$的一阶近似解析解$f={4\pi {\eta }_{{\rm{m}}}}/{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({2}/{\varepsilon }-\gamma \right)}$，再由爱因斯坦关系可得到圆柱的扩散系数$D={{k}_{{\rm{B}}}T}/{f}$。式中：${\eta }_{{\rm{m}}}$为膜的二维黏度，代表了磷脂分子整个膜厚度的总体黏滞阻力效应，因此其单位在常规黏度单位的基础上乘以了长度，即Pa·s·m；$ \gamma $为欧拉常数；$ r $为圆柱半径；$ {k}_{{\rm{B}}} $为玻尔兹曼常数；$ T $为温度；$ {\mu }_{1} $、$ {\mu }_{2} $分别为膜两侧液体的黏度。Saffman理论对于半径大于膜厚度的颗粒（如半径几微米的磷脂凝聚颗粒）并不适用。Hughes等^[14]在Saffman理论基础上加入了两侧液体对圆柱体上下表面的切向力，即为HPW模型，进而讨论了非无穷小$ \varepsilon $下的阻力系数，但未给出解析解。Petrov等^[15]随后给出了HPW模型较为准确的近似解析解，并拟合实验测量的膜内凝聚区域的扩散系数，得到磷脂膜二维黏度的量级为10⁻¹⁰～10⁻⁹ Pa·s·m。

三维球形颗粒穿透膜浸入到液体中的受力问题，较膜内圆柱体二维受力问题更为复杂。Danov等^[16-17]数值计算了颗粒在膜上的运动，假设颗粒做布朗运动，毛细数${\eta }_{{\rm{m}}}U/{\gamma }_{{\rm{m}}}\ll 1$（$ U $为颗粒速度，$ {\gamma }_{{\rm{m}}} $为膜表面张力），膜未发生变形始终保持平展，计算中膜可视作可压缩流体。Fischer等^[18]改进了Danov的理论，将膜改正为不可压缩流体，且在膜内流场中加入了表面张力梯度项—Marangoni效应，给出了Boussinesq数（$ Bo=1/\varepsilon $）极大与极小值的颗粒阻力系数渐进解$ f\left(Bo\right) $。Stone等^[19]讨论了单层膜系统（膜两侧分别为空气与水），将球形颗粒受力分解为膜内接触线阻力与水相浸没阻力两部分，前者即为Saffman理论或HPW模型得到的结果。Stone等利用理论分析的方法，以Saffman理论结果为零阶值，给出了阻力系数关于颗粒浸没率的一阶近似解，与精确数值计算结果误差小于5%。

早期有实验^[20-22]发现颗粒在单层膜上的布朗运动阻力系数明显大于Fischer与Stone等的理论预测值。2015年，Boniello等^[23]提出了界面颗粒布朗运动动力学理论，认为颗粒做布朗运动时，界面在液体分子热运动的作用下产生微小扰动进而发生变形，变形幅度仅为液面单个分子尺寸，除水动力学的阻力外，颗粒还受到了来源于变形界面的表面张力。这种界面扰动称作“热力学毛细波”^[24-26]。颗粒的总阻力系数$f={f}_{{\rm{H}}} + {f}_{{\rm{c}}}$，前者为水动力学阻力系数，后者为表面张力阻力系数。结合热力学扰动耗散定理^[27-28]，${f}_{{\rm{c}}}= 1/2{k}_{{\rm{B}}}T{\displaystyle\int }_{-\infty }^{ + \infty }\left\langle{{F}_{L}\left(0\right){F}_{L}\left(t\right)}\right\rangle {\rm{d}}t$，$ {F}_{L} $为颗粒受到的瞬时表面张力，$ t $为时间。

Boniello的理论目前仅在纯水界面与几十微米尺寸的颗粒实验中得到验证。本文实验发现其同样适用于亚微米颗粒实验，但需考虑到单层膜具有与纯水界面不同的力学性质和亚微米尺度，二者皆体现在表面张力上。首先，膜为黏弹性非牛顿流体，其液面表面张力需考虑黏弹性效应^[29-30]，尤其是在热力学毛细波10⁹ Hz量级高频振荡^[23]物理条件下；其次，微纳米尺度下的表面张力值通常不同于宏观尺度下的值^[31]，表面张力中含有额外热力学毛细波波数项^[32]。实验结果显示，在低密度、均匀相的膜上，由表面张力阻力系数${f}_{{\rm{c}}}$拟合得到的热力学毛细波波长约等于膜内磷脂分子间的平均间距，符合界面热力学扰动理论的描述。在高密度、相分离的膜上，颗粒与微米凝聚相粘连，粘连体整体所受阻力几乎全部源自于微米凝聚相。

1   膜的性质及实验方法

1.1   膜的表面张力与微观结构

实验采用的生物膜—肺表面活性剂膜萃取自固尔苏Curosurf猪肺磷脂注射液（80 mg/mL）。固尔苏主要成分为二棕榈酸磷脂酰胆碱（Dipalmitoyl-phosphatidylcholine, DPPC），摩尔分数为25 %，质量分数为47%，其余为多不饱和脂肪酸磷脂PUFA–PL（26 mol%）、缩醛磷脂（3.8 mol%）和极少量的胆固醇（0.08 mol%）和蛋白质^[30]。实验采用氯仿‒甲醇法^[33]对固尔苏进行萃取，制备好的样品为1 mg/mL的固尔苏–氯仿溶液，同时掺混了荧光剂Texas Red（1, 2-dihexadecanoyl-sn-glycero-3-phosphoethanolamine, triethylammonium salt, TR-DHPE），与固尔苏中DPPC的混合摩尔比为99.8∶0.2。

采用课题组自主研发的约束液滴表面测量仪^[34]（Constrained Drop Surfactometry, CDS）测量膜在不同密度下的表面张力，如图1所示，图中x与z分别代表水平与竖直方向，s代表液滴表面切向方向，ψ为液滴表面与水平方向内夹角，R₀为液滴半径，ρ为液滴密度，g为重力加速度。CDS上的圆形基座用于盛放纯水液滴（约10 µL），以微量进样针将稀释的固尔苏–氯仿溶液滴定到液滴表面，形成形状类似于肺泡的水‒气界面固尔苏肺表面活性剂膜。基座中央的小孔通过导管与注射器相连，注/抽水速度由Labview编程的推进器控制，以此调节液滴表面积的变化速率。实验测量的是膜在压缩过程中表面张力与膜密度变化的关系，液滴表面积以0.05 $ {\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}/\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n} $的准静态速率缩小。液滴的轮廓由照相机拍摄。膜表面张力$ {\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{m}} $和表面积以ADSA（Axisymmetric Drop Shape Analysis）方法（详见文献[34-35]和图1中公式）分析得出。膜表面压强${\text{π}} ={\gamma }_{\mathrm{w}}-{\gamma }_{\mathrm{m}}$，其中，纯水表面张力$ {\mathrm{\gamma }}_{\mathrm{w}}=72\mathrm{ }\mathrm{m}\mathrm{M}/\mathrm{m} $。

图  1  约束液滴表面测量仪

Fig.  1  Constrained drop surfactometry

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图2为膜表面压强随膜密度的变化曲线，（以DPPC磷脂分子所占平均面积作为衡量膜密度的物理量）。在显微镜下观察了膜在不同密度下的形貌（图2中4张照片）。膜被压缩到100 Ų/molecule之前，处于液态扩张（Liquid Expanded, LE）^[34]相，磷脂分子排列较松散，膜表面结构均匀。当膜被压缩到60～100 Ų/molecule时，膜上开始出现直径为几微米的磷脂凝聚（Tilted Condensed, TC）相（照片中斑点），TC区域内磷脂分子的排列比LE区域更紧密。荧光剂Texas red DHPE倾向于分布在LE区域，因此LE区域显示为浅色，TC区域显示为深色。膜继续被压缩，在LE ‒ TC共存相阶段，膜表面压强恒定在45 mM/m左右，TC区域数量和面积占比增大。当膜被进一步压缩（< 60 Ų/molecule），此时膜表面几乎被TC区域占据，TC区域相互挤压，导致膜表面压强直线上升，LE区域仅存在于TC区域之间的空隙。

图  2  肺表面活性剂膜表面压强随膜密度的变化

Fig.  2  The variation of the surface pressure with the density of the pulmonary surfactant monolayer

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1.2   颗粒在膜上的扩散实验系统制备

在培养皿中制备颗粒在水‒气界面肺表面活性剂膜上的扩散系统时，为防止颗粒沉淀，水相液体选用密度为1.15 g/mL的蔗糖‒氯化钠溶液，蔗糖质量分数为45%，氯化钠质量浓度为9 g/L。选取内径89 mm的玻璃培养皿作为承载膜的容器。先在培养皿内倒入厚约1 mm的蔗糖‒氯化钠溶液，之后用微量进样针将固尔苏‒氯仿溶液滴定到蔗糖‒氯化钠溶液表面。本文实验在界面上滴定了68、102、146和204 Ų/molecule共4个密度的膜，对应图2中的4张照片。经过3次重复实验，膜的形貌未发生明显改变。

实验采用的亚微米颗粒为羧酸盐修饰的聚苯乙烯荧光微球，直径分别为0.2、0.5 $ \mathrm{和} $1.0 µm。将该荧光微球稀释至一定浓度后装入喷雾器，喷雾器从高处缓缓将颗粒喷洒至膜表面。为防止表面对流干扰颗粒布朗运动的观测，使用特氟龙圆环（外径12 mm，内径6 mm，高2.5 mm）隔绝出一部分区域的膜，再盖上盖玻片，静置10 h后，可基本消除表面对流。

1.3   颗粒布朗扩散的测量

实验采用Olympus显微镜（配备60倍物镜）观察颗粒在膜上的布朗运动，同时利用电子增益高速摄像机（Andor 897 EMCCD）进行拍摄。每个视频拍摄时间为200 s，帧频为0.05 s，曝光时间5 ms，图像尺寸为300 像素 × 300 像素，分辨率为0.26 µm/m。采集原始图像中的颗粒灰度值不符合标准高斯分布，因此使用图像处理软件ImageJ对图像进行背景去噪声（Background Subtraction）和高斯模糊（Gauss-ian Blur）处理（图3（a）），使颗粒灰度值达到标准高斯分布（图3（b））。之后用Video Spot Tracker软件定位每个颗粒的灰度峰值（图3（c）），即颗粒质心，定位误差仅为0.5像素，进而对颗粒二维运动轨迹（$ x-y $平面）进行实时跟踪。软件自动将颗粒在每一时刻的像素位置坐标存入计算机中，使用MATLAB计算颗粒在不同时间间隔Δt内沿$ x $和$ y $方向的位移，计算公式^[4]如下：

图  3  图像处理与颗粒轨迹追踪示意图

Fig.  3  Schematic diagram of image processing and particle tracking

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式中：${\text{Δ}}t$为时间间隔，$ {t}_{i} $为时间起点。均方位移MSD（Mean Squared Displacement）则为${{\text{Δ}} x\left({\text{Δ}}t\right)}^{2}$与${{\text{Δ}} y\left({\text{Δ}}t\right)}^{2}$对所有时间起点先求和再平均：

x和y方向上的扩散系数由${D}_{x}=\left\langle{{{\text{Δ}} x\left({\text{Δ}}t\right)}^{2}}\right\rangle/2$或${D}_{y}= \left\langle{{{\text{Δ}} y\left({\text{Δ}}t\right)}^{2}}\right\rangle/2$求得。$\left\langle{\;}\right\rangle$是运算符号，表示对所有$ {t}_{i} $求平均。本实验中颗粒的运动在二维$ x-y $平面上各向同性，因此扩散系数D取两方向上的平均值，即D = $ \left({D}_{x} + {D}_{y}\right)/2 $。不同密度下，膜上每个颗粒的MSD与扩散系数由50个颗粒的结果求平均得到。

2   颗粒在单层膜上的阻力系数

在LE相表面均匀的膜上，均方位移MSD随时间间隔Δt线性增长（图4），阻力系数由爱因斯坦关系$f={{k}_{{\rm{B}}}t}/{D}$求得，其中扩散系数$ D $为图4中直线斜率的1/2。在LE ‒ TC共存相膜上，受电偶极子吸引力作用，表面带负电的颗粒与TC区域边缘粘连，在短时间间隔内，颗粒运动主要是随TC区域做旋转运动，表现为亚扩散；长时间间隔内，颗粒随TC区域做平动，表现为线性扩散，但MSD明显变小。本节将分别讨论颗粒在LE相模与LE ‒ TC共存相膜上的阻力系数。实验未选取TC相膜作为研究对象，是因为TC区域严重挤压，颗粒只位于TC区域的间隙中，以显微镜观察，颗粒几乎静止不动，无研究意义。

图  4  200 nm颗粒在不同密度膜上均方位移MSD随时间间隔的变化

Fig.  4  The variation of mean squared displacement MSD with time for the 200 nm particle on monolayers of different densities

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2.1   LE相膜上颗粒的阻力系数

颗粒的水动力学阻力系数$ {f}_{\mathrm{H}} $取决于颗粒在水相中的浸没程度^[16-19]（图5，以颗粒暴露在空气中的高度d表示）。颗粒的平衡位置取决于重力、浮力及膜施加的表面张力。重力G为：

图  5  颗粒在肺表面活性剂膜界面上的浸没程度及颗粒所受表面张力拉力γ_m

Fig.  5  Schematic diagram of particle immersion relative to the interface of the monolayerand the force exerted on the particle due to the surface tension γ_m

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式中：$ R $为颗粒半径，$ \;{\rho }_{\mathrm{p}} $为颗粒密度，${{g}}$为重力加速度。

浮力$ {F}_{\mathrm{B}} $为：

式中：$\; {\rho }_{\mathrm{s}} $为水相密度，$ {z}_{0} $为液面毛细爬升高度（对于粒径小于10 µm的颗粒，$ {z}_{0} $忽略不计）。

膜对颗粒施加的表面张力F_γ 为：

式中：$ \theta $为接触角，$ \phi $为浸没角。由式（3）和（4）可见，$ G $与${F}_{B}$都以$ {R}^{3} $的速率增长，在粒径极小的情况下，远小于$ {F}_{\gamma } $，因此重力作用可忽略不计，颗粒于垂直方向上的受力可视为全部来自于表面张力，由此得到颗粒的平衡条件为$ {F}_{\gamma }=0 $，即$\theta + \phi$ = 180°。由于颗粒粒径极小，接触角$ \theta $实验测量难度极大，这里采用前人对大颗粒（几十微米）接触角的测量结果^[36]：${\gamma }_{{\rm{m}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta = 27 \;\mathrm{m}\mathrm{N}/\mathrm{m}$，根据杨氏定理可得到不同表面张力/不同密度的膜对应的$ \theta $、$\phi$及颗粒暴露在空气中的高度d，如表1所示。

表  1  不同密度LE相膜上的颗粒与膜的接触角θ、浸没角ϕ及颗粒暴露在气相中的高度d

Table  1  Contact angle θ between the particles and the LE monolayer of different densities, immersion angle ϕ, and the height d of the particle exposed to the air

膜密度/(Å2·molecule−1)	θ	ϕ	d
204	60°	120°	−0.5R
146	55°	125°	−0.43R
102	30°	150°	−0.13R

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为消除粒径影响，下文将${f}_{{\rm{H}}}$转变为无量纲阻力系数$\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}} \; =\dfrac{{f}_{{\rm{H}}}}{\pi R{\mu }_{{\rm{s}}}}$进行讨论，(${\mu }_{{\rm{s}}}$为水相黏度)。颗粒受到的水动力学阻力系数可基于Fischer和Stone理论计算得出^[18-19]。在Bo ＜ 1（$Bo={\eta }_{{\rm{m}}}/R{\mu }_{{\rm{s}}}，$本实验Bo = 0.05～0.50）的情况下，Fischer理论关于$Bo\ll $1的一阶渐进解均适用^[37]：

式中：$ d < 0 $表示颗粒顶端高于水面（图5）；${\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}}^{\left(0\right)}$、${\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}}^{\left(1\right)}$分别为$\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}$以$ Bo $线性展开后$ Bo $的0次幂和1次幂的系数，其中，${\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}}^{\left(0\right)}$为无膜界面上颗粒的无量纲水动力学阻力系数；$ o\left({Bo}^{2}\right) $为展开式中$ Bo $ > 1的高次幂（> 1）项。膜的黏度${\eta }_{{\rm{m}}}$与膜密度有关^[38]：$\mathrm{l}\mathrm{n}{\eta }_{{\rm{m}}}= \mathrm{l}\mathrm{n}{\eta }_{{\rm{m}}}^{0} + {{B}}{A}_{0}/(A-{A}_{0})$，其中B为常数，$ A $为膜单个DPPC磷脂分子所占平均面积，${\eta }_{{\rm{m}}}^{0}$与$ {A}_{0} $分别为LE相范围内密度最大的膜的黏度及单个DPPC磷脂分子所占面积，前者为LE‒TC共存相膜中LE区域的黏度，可由TC区域的布朗运动扩散系数拟合得出，详见2.2节。Stone理论中颗粒阻力$ \overrightarrow{F} $关于浸没程度$\zeta = (2R-d)/R$的一阶近似解为：

$ {\overrightarrow{F}}^{\left(0\right)} $和$ {\overrightarrow{F}}^{\left(1\right)} $随$ Bo $变化而变化，其数值解取自文献[19]，$\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}$通过$\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}=\left|\overrightarrow{F}\right|/\mathrm{\pi }R{\mu }_{s}\left|\overrightarrow{u}\right|$（$\overrightarrow{u}$为颗粒运动速度）求得。Stone解对于任意$ Bo $均适用。

图6为不同密度LE相膜上颗粒无量纲阻力系数实验值与理论值的对比。就理论值而言，Fischer理论值比Stone理论值稍大，因为Fischer理论考虑了Marangoni效应。但Fischer理论值仍明显小于实验值，其差值很可能来源于Boniello提出的分子热运动引起的界面微小变形—热力学毛细波对颗粒施加的表面张力，如图7所示，图中$ \alpha $为变形界面与水平面夹角，通常约为1^[25]。表面张力对颗粒阻力系数的贡献需结合热力学扰动耗散理论给出：

图  6  不同密度LE相膜上颗粒无量纲阻力系数实验值与理论值的对比

Fig.  6  Comparison of the dimensionless friction coefficients of the particles on the LE monolayers of different densities between the experimental value and the theoretical prediction value according to the hydrodynamic theory

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图  7  微观界面扰动对颗粒施加的瞬时表面张力示意图

Fig.  7  The surface tension pulling force $ {\gamma }_{m} $ exerted on the particle instantaneously due to the microscopic interface disturbance

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式中：$ \tau $为热力学毛细波周期，$\tau ={2{\mu }_{{\rm{s}}}}/{{\gamma }_{{\rm{m}}}q}\approx {10}^{-9}\;\mathrm{s}$，其中波数$q={2\mathrm{\pi }}/{\lambda }$，波长$ \lambda $一般为界面内分子（膜内主要为DPPC磷脂分子）的平均间距，尺寸约为几纳米；${F}_{{\rm{L}}}$为界面随机扰动对颗粒施加表面张力在时间上的平均效果：$\left\langle{{{F}_{{\rm{L}}}}^{ 2}}\right\rangle=\displaystyle\sum _{i,j=1}^{n}\left\langle{{F}_{{\rm{Li}}}{F}_{{\rm{Lj}}}}\right\rangle$ = ${\left({F}_{{\rm{L}}}^{0}\right)}^{2}\displaystyle\sum _{i=1}^{n}{\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}^{2}{{\phi} }_{i}\right)}$=${[{\gamma }_{{\rm{m}}}\lambda (1-} {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )]}^{2}n/2$，$ n=2\pi R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta /\lambda $为给定时间内界面可能发生的扰动次数。将$\left\langle{{{F}_{{\rm{L}}}}^{2}}\right\rangle$代入式（10）得到：

基于Boniello理论的$\stackrel{～}{{f}_{{\rm{c}}}}$公式中，纯水界面的表面张力${\gamma }_{{\rm{m}}}$为宏观尺度准静态条件下的测量值。对于被膜覆盖的界面，膜的弯曲刚度、黏弹性可能会影响表面张力。此外，热力学毛细波波长$ \lambda $为单个分子尺寸约为几纳米，与亚微米颗粒在尺寸量级上更为接近，这个尺度下的表面张力大于宏观尺度下的值，通常由热力学毛细波振幅${\xi }_{{{q}}}$测得^[32]：

式中：${\gamma }_{{\rm{m}}}\left(q\right) + K\left(q\right){q}^{2}$整体被看作膜的“等效表面张力”，q为傅里叶空间波数。Meunier^[39]给出${\gamma }_{{\rm{m}}} \left(q\right)= {\gamma }_{{\rm{m}}0} + \dfrac{3}{8}\pi {k}_{{\rm{B}}}{T}^{2}{q}^{2}$，${\gamma }_{{\rm{m}}0}$为膜在宏观大尺度（$ q=0 $）下测得的表面张力，$ K\left(q\right) $为膜的弯曲刚度（对于单层膜可忽略不计^[40]）。表面张力受膜黏弹性影响^[29]，${\gamma }_{{\rm{m}}0}$取决于毛细波角频率${\omega }$与膜黏弹性松弛时间${\tau }_{{\rm{relax}}}$的比值，由Maxwell模型可得：

式中：$ G $为膜的松弛强度，${G}_{{\rm{e}}}$为震动频率等于零时膜的表面张力，即CDS上测得的${\gamma }_{{\rm{m}}}$。由式（13）知，当$\omega \ll 1/{\tau }_{{\rm{relax}}}$，${\gamma }_{{\rm{m}}0}-{G}_{{\rm{e}}}\cong G{\omega }^{2}{{\tau }_{{\rm{relax}}}}^{2}$；当$\omega > 1/{\tau }_{{\rm{relax}}}$，${\gamma }_{{\rm{m}}0}\cong {G}_{{\rm{e}}} + G={\gamma }_{{\rm{m}}} + G$。固尔苏肺表面活性剂膜的松弛时间较长，${\tau }_{{\rm{relax}}}在100$ s ^[30]数量级且热力学毛细波角频率$ \omega 在{10}^{9}\;\mathrm{H}\mathrm{z} $数量级，因此${\gamma }_{{\rm{m}}0}={\gamma }_{{\rm{m}}} + G$。对于密度为204、146、102 Ų/molecule的膜，G分别为$ 10、35、100\;\mathrm{m}\mathrm{N}/\mathrm{m} $^[36]。

综上所述，将式（11）中$ {\gamma }_{{\rm{m}}} $替换为${\gamma }_{{\rm{m}}} + G + \dfrac{3}{8}\pi {k}_{{\rm{B}}}{T}^{2}{q}^{2}$。$ \stackrel{～}{{f}_{{\rm{c}}}} $实验值由$\stackrel{～}{{f}_{{\rm{c}}}}\;=\; \stackrel{～}{f}-\stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}}$求得，$ \stackrel{～}{f} $为实验测量的无量纲阻力系数，$ \stackrel{～}{{f}_{{\rm{H}}}} $取Fischer的理论预测值（式（6）~（8））。最终，热力学毛细波波长$ \lambda $为唯一未知量，可基于式（11）的$ \stackrel{～}{{f}_{{\rm{c}}}} $进行最小二乘法拟合得到，结果如图8所示。对于200 nm～1 µm的颗粒，拟合的$ \lambda $值在实验统计标准偏差范围内基本等于膜内DPPC磷脂分子平均间距。

图  8  拟合$ \lambda $值与膜上DPPC磷脂分子平均间距的对比

Fig.  8  The values of $ \lambda $ obtained by the fits, compared to the average distance between the DPPC molecules on the monolayer

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2.2   LE–TC共存相膜上颗粒的阻力系数

在LE–TC共存相膜上，所有颗粒均与TC区域边缘粘连，因此难以确定颗粒的等效粒径，本节只对其扩散系数进行讨论。首先，由实验测量了无颗粒喷洒膜上TC区域的扩散系数（图9（a）），由HPW模型拟合：

图  9  68 $\text{Å}^{2}$/molecule膜上TC区域及与TC区域粘连颗粒的扩散系数

Fig.  9  The diffusion coefficient of TC domains and the nano-particles adhered to the edge of the TC domains on the monolayer of the density of 68 $ \text{Å}^{2} $/molecule

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可得到膜的二维黏度${\eta }_{{\rm{m}}}$ = 7.7 $\times {10}^{-10}$ Pa·s·m，与文献报道的其他磷脂单层膜黏度的数量级相同^[38]。 式中$ {c}_{1} $、$ {c}_{2} $、$ {b}_{1} $、$ {b}_{2} $均为常数，取自文献[15]。肺表面活性剂单层膜厚度为1 nm, 由此可得膜的体黏度为0.77 Pa·s，是纯水黏度的770倍。图9（b）将与TC区域粘连的颗粒的扩散系数（以圆形表示）与单独TC区域的扩散系数（以虚线表示）进行了对比，后者选取3.5 µm为平均TC区域直径（参照图2照片），由HPW模型代入${\eta }_{{\rm{m}}}$计算得出。可以看出，在实验统计误差范围内，二者近似相等，表明颗粒与TC区域形成的整体受力主要来自于TC区域。TC区域直径远大于颗粒直径，膜内黏滞阻力更大；此外，膜的体黏度远大于水相，因此水相对颗粒浸没部分施加的黏滞阻力可忽略不计。

3   结　论

本文实验研究了亚微米颗粒在单层生物膜（肺表面活性剂膜）界面上的阻力系数与扩散行为，测量结果显示颗粒的运动需综合考虑水动力学、界面热力学扰动、膜的表面张力和非牛顿流体黏弹性等力学性质以及膜微观结构等因素的影响，得出如下结论：

1） 肺表面活性剂膜的力学特性伴随着复杂的相变规律且与微观结构相关，膜被初步压缩时，表面压强随膜密度增大而增大，表面张力则与表面压强变化趋势相反，此时膜表面结构均匀，处于LE液态相；随着膜被继续压缩，膜上开始出现局部的微米磷脂凝聚TC区域，与LE液态区域共存，此时为LE–TC共存相。在这个相态下，随着膜密度增大，表面压强保持恒定，仅TC区域在膜上的面积占比逐渐增大；当膜被进一步压缩，膜上TC区域几乎覆盖了膜的表面，TC区域相互挤压，膜表面压强随着密度增大陡然上升，此时的膜处于TC凝聚相。

2）在LE相表面结构均匀的膜上，颗粒阻力系数等于水动力学阻力系数与热力学毛细波界面扰动表面张力阻力系数之和。其中，界面扰动表面张力需体现膜的黏弹性及微纳尺度，因此加入了黏弹性项以及热力学毛细波波数项。利用热力学毛细波波长$ \lambda $拟合${f}_{{\rm{c}}}$实验测量值发现，$ \lambda $约等于膜内主要成分DPPC磷脂分子的平均间距，符合热力学界面扰动的理论描述。

3）在LE–TC共存相膜上，颗粒均与TC区域边缘粘连，其整体的受力基本全部来源于TC区域。TC区域膜接触线周长较颗粒更大，且膜的体黏度远大于水相黏度，导致无论是膜对颗粒施加的阻力还是水相对颗粒浸没体积施加的阻力贡献都极小。